L’eguaglianza

Nelle sue Finzioni Borges immaginò che uno scrittore francese tentasse di scrivere, senza rinunciare ad un’ispirazione spontanea, alcune pagine che riproducessero parola per parola due interi capitoli del Don Chisciotte. L’impresa poteva benissimo essere dichiarata assurda, poiché tale impresa doveva rispondere a due leggi antichissime: quella costituita dalla libera ispirazione, e quella del copiare senza cambiare nulla. Nel tentativo del nostro scrittore non si può parlare di copiatura, e nemmeno di imitazione. Per lo scrittore l’impresa non è difficile, basterebbe vivere eternamente. Ecco dunque un paradosso che svela un’altra forma dell’infinito: l’eguaglianza. La vera eguaglianza è un punto limite irraggiungibile. Nicolò Cusano, aveva già affrontato l’argomento, osservando che le innumerevoli creature finite dell’universo si dispongono in una successione indefinita che non ha un termine concluso in nessun senso. Questa inesauribilità è trasmessa da Dio e diviene un carattere insopprimibile. Per Cusano non era possibile la perfetta duplicazione, poiché risulta evidente, per lui, che non è mai possibile l’eguaglianza precisa tra due cose distinte. In termini geometrici, l’eguaglianza assoluta del cerchio a tutte le figure poligonali attraverso la mediazione del quadrato non è realizzabile, per il Cusano, nell’ambito dell’ordinaria apparenza sensibile. La quadratura del cerchio che definirebbe la perfetta e infinita eguaglianza non è concepibile se non come evento ideale. Se si ripensa allo scrittore francese di Borges non si può fare a meno di scorgervi l’ambiguità della duplicità, della ripetizione priva di senso. Sembra di intendere che l’infrazione dell’impossibilità dell’infinito in atto generi una sorta di mostruosa caricatura del modello che si vorrebbe realizzare. Esistono diverse esempi di duplicazione caricaturale, tra le quali vi sono le antinomie, ovvero la corrispondenza speculare di due tesi contrapposte, entrambe dimostrabili ed entrambe confutabili. La pura libertà degenererebbe per l’uomo in uno stato di pura indifferenza che lo costringerebbe a restare tale. Ovvero, egli non sarebbe consono a nessuna scelta, visto che sarebbe condannato ad una duplicità irresolvibile. Wittgemstein avrebbe visto l’autonomia della volontà(ovvero la libertà pura) come un limite ove necessità e volontà coincidono.  

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Cartesio

Cartesio, differenzia l’infinito dall’indefinito che sono come la tradizionale differenziazione tra infinità attuale e infinità potenziale. L’indefinito rammenta pur sempre la fatale imperfezione dell’oggetto terrestre  che appare in sé privo di limite; ma indefinita è ora tipicamente definita quella cosa che, pur essendo senza limiti sotto qualche aspetto, non è tuttavia sciolta da ogni limitazione, poiché. Non può sottrarsi, se non altro, dai limiti imposti dalla sua esistenza particolare, dal suo essere ciò che è e non un’altra cosa. Infinito, altro non è che ciò in cui non si riscontra alcun limite da nessuna parte, nel qual senso solo Dio è infinito. Vi è dunque una novità, poiché per Cartesio, l’imperfezione significata dall’uso del termine indefinito consiste assai più nella presenza residua del limite che nell’apertura incessante al suo superamento.

<<Certamente>> Cartesio scrive <<non si deve ritenere cosa strana che Dio , creandomi, abbia messo in me quest’idea per essere come il marchio dell’artefice stampato sulla sua opera; e non è così necessario che questo marchio sia qualcosa di diverso da questa stessa opera. Ma dal sol fatto che Dio mi ha creato, è fortemente credibile che egli mi ha in qualche modo prodotto a sua immagine e somiglianza e che io concepisco questa rassomiglianza ( nella quale l’idea  di Dio si trova contenuta ) con la stessa facoltà per cui concepisco me stesso; nel senso che, quando rifletto su di me, non solamente riconosco che sono una cosa imperfetta, e dipendente da altri, che tende ed aspira senza posa a qualcosa di migliore e di più grande che io non sono, ma conosco anche, nello stesso tempo, che colui da cui dipendo possiede in sé tutte le cose grandi da cui aspiro, e di cui io trovo in me le idee non definitamente e solo in potenza ma in modo tale che egli ne gode effettivamente, attualmente e infinitamente, come può essere per Dio stesso>>. L’atteggiamento psichico di apertura all’illimitato che si manifesta nel desiderio è visto in questa prospettiva come riflesso di Dio nell’imperfezione dell’uomo. Esiste dunque per l’uomo un’idea positiva di infinito rispetto alla quale il limite appare un difetto e il desiderio ed il dubbio un sintomo di una volontà di affrancamento. Per N. Cusano l’uomo era l’immagine di una <<infinità finita>>, di una pienezza formale benedetta dall’occhio divino. In una lettera scritta da Cartesio a Chanut, il 6 giugno 1647, il mondo comincia ad essere descritto come una rete sterminata di rapporti funzionali priva di orientamenti assoluti. La proclamazione che Dio solo è la causa finale è usata come prova inconfutabile che nessuna creatura , nemmeno l’uomo, può considerarsi la meta definitiva di un qualsiasi ordine finalistico. Ogni cosa è suscettibile di aumento o di diminuzione, ed ogni cosa si commisura immediatamente a qualcosa d’altro. Qualsiasi oggetto diviene così irriconoscibile poiché richiederebbe l’apprendimento  di tutte le cause mediate ed immediate e di tutti i vincoli che lo legano a tutti i fatti più lontani ed irreperibili. Come dicevano i Pitagorici, l’illimitato è inconoscibile. La materia, separata dallo spirito, comincia a frantumarsi. La sua divisibilità è dichiarata e l’elemento che la caratterizza nei riguardi dello spirito è indivisibile. La verità indubitabile che il mondo ci è dato solo come idea,  come rappresentazione soggettiva, acquista con questa premessa acquista il senso particolare di una puntuale messa  in atto delle regole metafisiche che fanno scorgere ovunque apparenze ingannevoli. A partire da Cartesio, la forma si svuota del suo contenuto peculiare, cioè dell’essenza e cessa con ciò ad essere esistenza spirituale rivelata, espressione esteriore della luce divina. Kant ridusse in seguito anche le qualità primarie di ogni oggetto intuito, come l’estensione, la forma e il movimento, a universali schemi soggettivi di apprendimento. Paradossalmente questi stessi schemi che garantivano da un lato l’obiettività del conoscere erano anche la principale lente deformante con cui veniva appreso un oggetto ormai definitivamente sconosciuto. Schopenhauer avrebbe successivamente descritto il carattere illusorio dello spazio e del tempo battendosi proprio sul loro essere leggi mentali dell’intuizione sensibile, cioè modi soggettivi di organizzare l’esperienza. La ricerca di verità conclusiva che oltrepassasse i limiti dell’ordinaria intuizione spaziale e temporale  si sviluppo successivamente anche in matematica. Weierstrass, Dedekind, Cantor, Russell avrebbero insistito sull’attendibilità di astratti meccanismi mentali operanti al di fuori dello spazio e del tempo. Cartesio fu tra i primi a vedere l’infinito sotto angoli diversi che ne avrebbero fatto la storia. Nel 1630 , in una lettera, egli confutava a Mersenne un argomento assai diffuso circa l’inesistenza di insiemi infiniti. Mersenne esibiva la semplice constatazione che una eventuale linea infinita dovrebbe contenere infiniti piedi e anche infinite tese, che sono 6 volte più grandi di un piede.

L’insieme infinito di tese avrebbe dovuto allora contenere assurdamente come suo sottoinsieme proprio l’infinito insieme di piedi, pur coincidendo entrambi con la linea infinita. Come conclusione la linea infinita non può esistere in quanto, esistendo, dovrebbe coincidere con ciascuno dei due insiemi infiniti di cui uno più grande dell’altro. Cartesio accetto il paradosso, ma negò tale conclusione. Per lui il paradosso rivelava una caratteristica prevedibile di ogni insieme infinito: il rapporto tra una tesa ed un piede è un numero finito, il che rende a priori incompatibile l’osservazione di Mersenne con ciò che è invece attinente all’infinito e alle sue leggi. Le norme che regolano un’eventuale confrontabili tra insiemi infiniti non possono che trascendere del tutto ogni proporzione finita come quella che stabilisce il rapporto tra un piede e una tesa. L’obbiezione di Cartesio era profonda e coglieva uno dei nodi del problema che fu ripreso da Cauchy. Egli argomentava che se si assume come data l’intera serie dei numeri interi  n  si può benissimo costruire anche l’insieme dei suo quadrati  n^2  e l’insieme dei quadrati sarà paradossalmente contenuto in quello dei numeri dati. Questo esempio doveva dimostrare l’inconcepibilità dei numeri interi come totalità attuale, cioè come insieme attualmente infinito. Tornando  a Cartesio, egli non negava il paradosso, ma ne faceva una conseguenza immancabile dell’infinito. In verità Cartesio non avrebbe difeso l’esistenza dell’infinito in atto. L’elemento formale e limitante che pur doveva possedere un eventuale infinito in atto non può coincidere con l’analogo contenuto formale degli insiemi e dei numeri finiti : ne differisce anzi proprio perché si tratta di un <<infinito>> anziché di un <<finito>>. Nelle tesi di Cauchy era invece implicita l’idea che l’atto dovesse essere finito. Egli aveva ripetuto in sostanza  la semplice verità che non si possono contare tutti gli interi uno per uno fino ad arrivare ad un termine conclusivo, rivelando in tal modo di sentirsi costretto a pensare la raggiunta infinità in termini di totalità  finita, come se, invece di avere contato tutti i numeri, ne avesse contati dieci o cento.

Leibniz

L’altro aspetto dell’infinito di cui Cartesio anticipò l’intendimento e l’assimilazione era una variante di quello che fu chiamato a partire da Leibniz << principio di continuità>>. In una lettera Cartesio approvò l’idea di considerare un fascio di rette parallele come un caso particolare di un sistema di rette concorrenti in un unico punto. Se le rette sono parallele non c’è dubbio che è loro attribuibile una proprietà comune, che potrebbe attribuirsi come la loro direzione. Ma questa direzione può anche chiamarsi << punto all’infinito>> per chi contempli la fuga prospettica delle rette parallele che si allontanano indefinitamente in uno sfondo immaginario o reale. L’idea di chiamare con il nome di punto una direzione venne a Desargues proprio dalle ricerche sulla prospettiva: il raggio visuale che segue la comune direzione delle rette tende a fissarsi in un punto limite che appare l’ideale punto d’incontro delle linee rette. Ricollegandosi a Cassirer, Panosky scorse nella prospettiva una di quelle forme simboliche per mezzo delle quali un particolare contenuto spirituale viene connesso a un concreto segno sensibile identificato con questo. E la preparazione di questo avvenimento ha radici lontane: mentre il mondo dei  Greci era discontinuo e svolgentesi in un antagonismo irriducibile dell’informità e resistenza passiva dello spazio di contro al delinearsi della forma, già la metafisica neoplatonica rivelava  una percezione dello spazio come << quantum>> continuo, come fluido omogeneo in crescente assonanza con le figure da esso emergenti. Il carattere infinito di questo spazio non poteva essere ignorato dai Greci, ma la rilevanza di quest’infinità per la rappresentazione figurativa era tutta nel carattere negativo e materiale dell’apeirsn . La apeirsn platonica era sinonimo di indeterminazione e sostanzialità, era ricettacolo delle forme,  condizione prima del loro crescere e diversificarsi; le sue caratteristiche erano quelle dell’infinità. Giorgio De Santillana avanzava l’ipotesi che la struttura ordinata del mondo trovasse la sua forma primigenia nella ciclicità del tempo e che fosse per l’appunto lo spazio in sé, nella sua indeterminatezza, il principio antagonista di ogni assurdità e incoerenza. In Platone lo spazio era considerato come Non-Essere. La prima frantumazione dell’unità cosmica legata dai cicli del tempo non avvenne con Copernico o Keplero e persino Galileo rimase dominato dalla ciclicità. Solo con Cartesio si ebbe questa rottura e lo spazio divenne allora il territorio più propizio per le esemplificazioni delle opposte concezioni dell’infinito. La razionalizzazione dello spazio ad opera di Cartesio trova l’ideale premessa in questa estensione infinita ove ha fatto irruzione l’essere positivo, l’affermazione di esistenza culminante nella visibilità di un punto ove appare racchiusa e unificata l’intera infinità dello spazio visivo. Leibniz formulò nel modo seguente l’idea che i punti all’infinito sono un’applicazione speciale del principio di continuità: << se la differenza tra due casi o configurazioni può diminuire al di sotto di ogni livello effettivamente assegnabili in dati concreti, allora è necessario che tale differenza possa trovarsi diminuita al di sotto di ogni quantità assegnata anche in quelle configurazioni che non possono esistere in concreto, ma solamente cercate e immaginate come risultato di una variazione continua. >> Se si immaginano due rette non parallele su un piano, esse si incontrano certamente in un punto. Ma facendo variare con continuità le loro direzioni fino a renderle parallele, il punto d’intersezione si allontana indefinitamente sul piano fino a sparire del tutto nel caso limite del parallelismo. Ciò che le rette hanno in comune in tutte le raffigurazioni intermedie deve allora in qualche modo essere presente anche nell’ultima conseguenza della variazione, rappresentata appunto dal parallelismo. L’ordine dei dati deve trasmettersi in un ordine analogo ravvisabile nel punto irraggiungibile cui essi sono orientati; punto che è in sé invisibile, ma indirettamente rivelato dall’unicità della direzione che definisce il parallelismo. La giustificazione dei punti all’infinito risiede anche nella loro << visibilità>>come configurazioni geometriche ordinarie. Tali deduzioni apparentemente ineccepibili sull’esistenza dell’infinito e sulla sua raggiungibilità per via di movimenti continui erano il risultato di un’idea dell’infinito pressoché opposta a quella che aveva ispirato Aristotele. Annota lo stesso Leibniz << il carattere dell’Autore infinito interviene ordinariamente nelle operazioni della natura ... Ogni porzione di materia può essere raffigurata a un giardino pieno di pesci. Ma ciascun ramo di una pianta, ciascun membro di un animale è ancor’esso un simile giardino, un simile stagno. E benché la terra e l’aria, intercettate tra le piante del giardino o l’acqua intercettata tra i pesci dello stagno, non siano né pianta né pesce, tuttavia ne contengono anch’esse, ma per lo più di tale piccolezza, da riuscire a noi impercettibile>>.

Leibniz prevedendo l’esistenza di diversi ordini di infinità e diversi gradi di differenziabilità, consentiva di configurarsi il reale, e gli infiniti in esso riscontrabili. La scienza va così per lui, a cercare la caratteristica dell’azione e del mutamento << nell’elemento momentaneo, nella forza tendente al cambiamento>>che è per Leibniz il principio stesso della realtà e la causa del suo funzionamento dinamico. Tali sollecitazioni infinitesime, suscettibili di un’esistenza ideale più che reale, non erano altre che differenziali. Leibniz concepì i suoi risultati con una sorta di esplorazione all’infinito dei concetti riferibili al calcolo di successioni finite; e questi stessi risultati, ponendosi come la meta finale di un percorso illimitato erano l’apparente dimostrazione dell’esistenza dell’infinito attuale. Leibniz continuò a parlare degli infinitesimali differenziali come delle finzioni utili all’arte dell’invenzione matematica non corrispondenti per necessità a cose attualmente esistenti al di fuori della mente.  Già Cartesio aveva offerto dell’infinito l’immagine di un’entità chiara e distinta, elencandone i paradossi come le naturali ed inevitabili caratteristiche di un’entità incompatibile con l’ordinaria percezione del limite. Solo con Leibniz l’infinito divenne tuttavia designato come semplice segno algebrico. Infatti lo scopo di Leibniz fu quello di dare alla geometria di Pascal, alla geometria degli indivisibili, la forma dell’analisi cartesiana.

Il principio degli indiscernibili. Le classi

Una perfetta immagine della follia di chi pretende di realizzare l’infinito attuale in concreto come descrizione analitica ed esauriente in un insieme di oggetti fu tratteggiata da Musil. Due locomotive che si scontrano sono presumibilmente guidate da macchinisti che non provocano apposta il disastro, ma che sono piuttosto ingannati dall’ignoranza di una serie di eventi che allo scontro risultano legati secondo diverse gradazioni di causalità. In questa mostruosa serie di eventi, noi tutti perdiamo la forza della coscienza poiché se avessimo la forza di riesaminarci e di riconsiderare il nostro compito, faremmo tutto il necessario ed eviteremmo l’infortunio.  La folle aspirazione di conoscere l’intera complessità di un evento si potrebbe raggiungere solo al prezzo della più completa informità ed apatia, paragonabile solo alla all’indifferenza reciproca delle particelle nel caos primogenito descritto da Anassagora o da Anassimandro. Lo stesso pensare, la stessa coscienza raffinata, in quanto coordinatrice di fatti lontani e irripetibili, è suscettibile di procurare come frutto immediato l’inerzia e l’apatia, lo stare inattivo e cosciente a braccia conserte in un guazzabuglio di dubbi, tormenti, agitazioni e sensazioni confuse. Un essere determinato e finito, scrisse Hegel, è in rapporto col mondo intero che lo circonda; sicché la descrizione completa di un qualsiasi oggetto è autocontraddittoria. A.N. Whitehead descrisse la correlazione tra finito ed infinito in termini di complessità di un evento, lasciando intendere che non si può mai esaurire del tutto l’elenco dei collegamenti che vincolano  necessariamente una qualsiasi entità alla totalità  che la contiene. L’incolmabilità delle esperienze collegabili ad un oggetto, che fanno di questo un punto limite non perfettamente calcolabile, colmo di sfumature e di aspetti non sempre riconoscibili, fa sì che qualsiasi pretesa di incidenza sulla realtà mediante azioni  ed interventi concreti  sia di fatto vana, o perlomeno imprecisa e gravida di rischi. Ciò potrebbe anche essere un rapporto con la matematica, visto che spesso l’archetipo dei movimenti dello spirito e i problemi in essa dibattuti potrebbero trovare una sorprendente corrispondenza con i fatti della vita. È noto come Leibniz non cesso mai di legare le sue invenzioni matematiche al linguaggio con cui descrisse la sua intuizione del mondo. In svariati modi, egli, collegò sempre le anime con i punti matematici e per illustrare la struttura del reale usò immagini geometriche in cui il principio di continuità fosse una legge operante. Per lo meno entro i limiti dell’analogia il reale fu allora assimilato al continuo matematico e l’esistenza contingente, con la sua infinita complessità, paragonata all’insondabile irrazionalità dei punti dello spazio geometrico continuo. Conformemente all’idea intuitiva di continuità geometrica la natura << non fa salti >> e, nel vuoto apparente tra due distinte sostanze, prevede l’esistenza possibile di un’infinità di altre sostanze intermedie, diverse tra loro per gradi infinitesimi. Tutte le sostanze create furono così messe in una serie continua in cui le realtà necessarie e quelle contingenti fossero nello stesso rapporto dei numeri irrazionali. La riducibilità dei razionali ad una comune unità di misura era paragonabile alla possibilità di determinare l’analisi delle verità necessarie nelle verità identiche; l’infinità degli irrazionali era invece avvicinabile all’analisi del contingente che è fatalmente illimitata e senza soluzione: solo Dio può conoscere e portare a termine la completa spiegazione delle cause di un evento. Se è vero che il continuo, come sostiene Whitehead, fornisce la principale  modalità di rappresentazione della potenzialità indefinita, non si andrebbe lontani dalla verità configurandosi il mondo di Liebniz come dominato dall’illimitato, anche nel senso relativamente preciso che in esso risulta assente, come è pure assente nel corrispondente apparato matematico, l’idea del limite come elemento dominante un’infinità potenziale e situato al di fuori di quest’ultima. La realtà contingente è tuttora costituita, in questa prospettiva, di punti raggiungibili per variazioni continue attraverso una problematica infinità attuale di condizioni intermedie e di percorsi infinitesimali dall’una all’altra. Solo Dio è all’esterno del mondo, trascendendo la serie illimitata delle monadi. In tal senso si può ben dire che il carattere rivoluzionario della matematica degli infinitesimi fu per lo meno analogo a quello di una concezione del mondo ispirata a quell’idea di infinito che Aristotele aveva respinto. Un aspetto non riducibile all’illimitato sopravvive in questa visione: la diversità. Due punti qualsiasi della serie continua, se distinti, differiscono per qualche predicato che riveli la loro dissomiglianza, mentre due punti che abbiano gli stessi predicati, e siano perciò in tal senso indiscernibili, sono lo stesso punto.

Con il principio degli indiscernibili Liebniz negò diritto d’esistenza alla duplicazione, al confronto speculare di due oggetti identici e distinti; circostanza che da sola paralizzerebbe il mondo, perché ogni movimento e ogni scelta sarebbero allora assurdi e contraddittori. Ma la formulazione del principio deve essere correlata dalla comprensione che ogni qualvolta si parla di identità  e si asserisce al concetto in questione si rischia di coinvolgere entità inesistenti, o di cadere inconsapevoli  nella circolarità dei paradossi logici o semantici. Russell rivelò l’ambiguità e la contraddizione degli argomenti di Liebniz, dimostrando che solo i metodi della logica matematica erano adatti a riformulare correttamente il principio degli indiscernibili. L’indagine logico-matematica raffinò in ogni caso la penetrazione dell’idea di infinito, non cessando d’altronde di indicare aspetti  e sfumature non troppo dissimili a quelle di concezioni assai più antiche. La teoria logica dei tipi, formulata per la prima volta da Russell, fu un rimedio all’ingenua concezione di <<collezione>> e ai paradossi che questa implicava. Quine osservò che la principale finalità dei ‘’ Principia ‘’, introdotti da Russell, fu di assottigliare l’universo delle classi a un punto di coerenza logica; e ciò avvenne con il sussidio di una gerarchia di tipo logico che impedisse troppo estesi raggruppamenti istantanei di oggetti. Russell scopri ad esempio che non è possibile considerare la totalità simultanea di un gruppo di individui assieme ai loto attributi e relazioni, agli attributi e relazioni di tali attributi e relazioni, e così indefinitamente. Questo <<indefinitamente>> è destinato a porsi in un crescente divenire di complessità, sì da ordinare l’universo in classi successive di significati logici percorrenti una gerarchia ben definita. Fra le classi inesistenti ce né una che riguarda direttamente il principio degli indiscernibili e l’impossibilità di indicare correttamente tutte  le infinite interrogazioni di un individuo con le cose dell’universo circostante. Naturalmente la drastica diminuzione operata dai ‘’ Principia ‘’ delle formule linguistiche compatibili non incontro un’universale e definitiva approvazione. Naturalmente la soppressione delle classi non toccò il fondo del problema e Russell dovette  fare appello ad altre entità universali attirandosi le critiche di Quine che considerò oziosa questa sorta di riduzione. Nei successivi sistemi di Zermelo e di Neumann, la differenza per l’idea di classe apparve in maniera più sfumata. Le successive ispezioni dell’idea di classe o di raggruppamento che si avvicendarono nel’ 900 suggeriscono come eventuali problemi di compatibilità fossero da riportare sul terreno semantico, e richiedessero perciò un attento esame dell’uso della lingua.

L’infinito attuale. Indefinito e transfinito

In che modo si formò col tempo la più recente convinzione che l’infinito possa esistere come totalità attuale? Un elenco dei precursori sarebbe interminabile; più recentemente in una descrizione dell’infinito contenuta nella XII Lettera di Spinoza, e nel successivo commento della ‘Scienza della logica’ di Hegel, si troverebbe la più compiuta espressione di una possibile alternativa all’illimitato inteso come pura potenza. L’esposizione di Spinoza e di Hegel già affermano quell’esigenza di staticità che deve soddisfare l’infinito per cessare d’esistere come puro sinonimo del divenire temporale. Forse Leibniz, pur credendo nell’infinito attuale, non aveva altrettanto insistito su questo punto. È pur vero che l’infinito potenziale trova nella serie una naturale conclusione nel finito e quindi in qualcosa di fermo e statico; ma l’insistenza di Leibniz è tutta sul movimento: il differenziale, non altro che il movimento infinitesimale di ogni divenire, e il finito è l’atto finale di una generazione finale dominata dal tempo. Per rintracciare poi un’idea dell’infinito suscettibile di tramutarsi in nozione mentale accessibile e adatta a ricevere un nome o una designazione simbolica come ogni altra cosa di questo mondo, non è inutile risalire a Cartesio. Già Cartesio aveva asserito che la concezione dell’infinito non è dissimile a quella di una figura finita: alla stesso modo che una figura composta da tre linee genera l’idea del triangolo, così è sufficiente concepire una cosa che non è rinserrata da alcun limite per possedere un’idea di infinito. In realtà Cartesio non arriva ad ammettere la possibilità di comprendere tutto l’infinito; piuttosto questa impossibilità doveva appartenere alla ragione formale dell’infinito ed essere implicita nella verità dell’idea stessa. Con ciò Cartesio aveva comunque proposto un infinito garantito da un legittimo contenuto di obbiettività pur non ritenendolo riferibile ad alcuna cosa concreta. Queste osservazioni erano in realtà l’avvenimento che anche l’infinito poteva diventare l’oggetto di una invenzione meccanica, il segno illimitatamente riproducibile di un’arte che Leibniz avrebbe definito praticabile senza lo sforzo dell’immaginazione. Nel corso del XVIII secolo i discepoli di Leibniz ebbero il compito di espandere e di consolidare il disegno iniziale della dottrina leibniziana. Nonostante le cautele di Leibniz che aveva conservato il titolo di finzioni ai differenziali, Fontenelle scriveva nel 1727, che gli infiniti e gli infinitesimi dovevano ormai considerarsi un fatto stabilito per sempre, un’acquisizione scontata delle speculazioni della geometria. Restava immutata la concessione cartesiana dell’inesistenza dell’illimitato come totalità riscontrabile nel reale. Le interminabili discussioni che si svolsero nel’700 sui fondamenti metafisici del differenziale e del principio di continuità non alterarono in ogni caso la convinzione che una plausibile idea dell’infinito dovesse in qualche modo affermarsi e consolidarsi nel linguaggio matematico. Non stupisce perciò di trovare infine la convinzione dell’esistenza dell’infinito come realtà intellettuale. Nella prima metà dell’800 B. Bolzano aggiunse conclusioni non troppo dissimili a quelle di Cartesio, ma aggiungendo che le idee non sono in generale qualcosa di  <<esistente>>, ma semplicemente qualcosa che non cessa di sussistere anche quando non sono pensate da nessuno. Egli concluse che la determinazione di una cosa qualsiasi non dovesse poggiare necessariamente sull’effettiva esistenza di un oggetto, e l’infinito non poteva fare eccezione. Ma Bolzano non si accontentò di riconoscere nell’idea di infinito un’oggettività correttamente determinabile. Non diversamente da Leibniz egli vide l’infinito ovunque operante nella realtà; collegò l’infinità di Dio all’infinità degli esseri creati e all’infinità delle esperienze collegate. Una decisiva innovazione di Bolzano, che superò in questo persino Cantor, fu l’abbozzo di una logica delle proposizioni capace di ridimensionare i problemi dell’esistenza: un’anticipazione di Russell e di Quine. Bolzano fa chiaramente intendere di voler distinguere tra diversi tipi di proposizioni esistenziale e dimostra che non è assurdo pensare al contenuto referenziale di un’idea in rapporto ad un esistente. Basti pensare che l’idea di proposizione può riferirsi a oggetti come il teorema di Pitagora. La verità di simili proposizioni non è nel loro riferirsi a oggetti concreti che si comportano in realtà come esseri descrivono. Per quanto Bolzano insistesse nell’inserire l’infinito tra le cose reali, egli preparò il terreno all’avvento di un uso innocuo del verbo essere in riferimento agli universali e alle finzioni. Egli neutralizzò la potenza evocatrice del segno, prospettando la sua riducibilità a fiche manovrabile nello spirito del più radicale nominalismo. L’infinito avrebbe potuto in tal modo apparire nel linguaggio senza troppe compromissioni.

L’innovazione di Bolzano ben si potrebbe definire un esorcismo contro gli spettri chiamati dal simbolo, una specie di lubrificazione del pensiero logico operata con la soppressione di alcune delle componenti invisibili della proporzione o dell’idea. L’esistenza   ‘reale’ delle proposizioni e delle idee fu da Bolzano drasticamente ridotta al loro eventuale apparire in qualche punto dello spazio-tempo al loro essere pensate o pronunciate da qualcuno in un determinato istante, senza alcun riguardo alla possibilità di materializzarsi in quell’istante. La sfera del magico, che da Novalis era stata rivendicata perfino ai segni della matematica, rimase d’allora tacitamente occultata. Lo stesso Novalis aveva scritto che all’invisibile, ancor più che al visibile, l’uomo è strettamente legato. Il gesto riduttivo di Bolzano si potrebbe anche spiegare citando le sue speculazioni sul concetto di verità. Per evitare fraintendimenti egli spiega che il verbo essere che si usa parlando di verità in sé ha un senso del tutto convenzionale; esso va separato dall’idea di attualità di presenza operativa e condizionante i fatti della vita. Le verità della religione, della morale della matematica e della metafisica sono solo proposizioni da considerarsi in prima istanza come cose in sé, distinte dal fatto che descrivono, che per lo più non esiste. Inoltre Bolzano avanzò la proposta che una classe di oggetti fosse definibile come tale a prescindere dal suo essere finita o infinita. Egli anticipò Cantor nel ritenere che all’idea di insieme toccasse una verifica di coerenza mediante il principio aristotelico del terzo escluso. (Una cosa è determinata o determinabile se di due attributi contraddittori (A e non A) uno solo appartiene ad essa). Come più tardi Cantor, Bolzano affidò la sua fede nell’esistenza dell’infinito attuale alla convinzione che l’atto mentale capace di riunire in una superiore unità oggetti separati e distinti fosse così al riparo da contraddizioni logiche. I fatti avrebbero smentito più in là questa convinzione. In ogni caso le idee di Bolzano precorsero di qualche decennio un intero periodo dell’800 che fu caratterizzato dall’invenzione di un linguaggio matematico che dell’infinito intese formare una totalità attuale e statica, non governata dal divenire temporale. Questo fu il linguaggio della teoria degli insiemi, che intese giustificare, accanto all’infinito potenziale o sincategorematico delle successioni infinite, l’infinità attuale di tutti i sottoinsiemi come collezione chiusa di oggetti esistenti di per sé stessi. Bolzano anticipò questo sviluppo dimostrando che gli aggregati si formano mediante operazioni sintetiche del pensiero al di fuori del tempo. Il metodo di Weierstrass riflette la stessa esigenza di staticità. Fu ancora Weierstrass affondare per la prima volta una teoria dei numeri irrazionali sulla nozione di insieme, estendendo operazioni e relazioni di grandezza ad aggregati infiniti di numeri razionali: l’infinità potenziale dello sviluppo di cifre e dei numeri irrazionali era rinserrata in un’entità governata da leggi indipendenti da ogni idea di successione temporale. Cantor avrebbe in seguito toccato in modo esplicito il punto essenziale: era l’idea di tempo ad essere principalmente coinvolta in questa prospettiva. La convinzione che l’apriorismo kantiano fosse inattaccabile per lo meno nell’idea del tempo ricevette nel modo più esplicito una smentita. Così a proposito del rapporto tra continuità e tempo, Cantor stabilì la netta priorità dell’idea del continuo. E.Cassirer osservò come la matematica dell’800 vide un progressivo offuscarsi del valore cognitivo delle forme dell’intuizione sensibile. Insieme a Cantor anche Dedekind, Russell, Frege e Hilbert cercarono di ridurre i fondamenti del numero a costanti logiche o relazioni primarie autonome del pensiero. << La serie dei numeri >> scrisse Cassirer << non deve essere costituita sull’intuizione dello spazio e del tempo, ma invece il concetto di numero ci deve mettere per la prima volta in grado di acquisire concetti davvero rigorosi ed esatti di ciò che è spaziale e temporale >>.

La vera svolta arrivò comunque, alla fine dell’800, con la teoria degli insiemi di Cantor, ma alcuni fatti matematici la anticiparono riproducendo molto da vicino i meccanismi di generazione di numeri transfiniti e degli insiemi di potenza superiore al numerabile. Solo nel 1833 Cantor poteva affermare che i tempi erano maturi per l’introduzione di una nuova specie di infinito. Questo era già apparso di fatto nella geometria e nella teoria delle funzioni. Lo studio delle funzioni analitiche di una variabile complessa prevedeva l’esame di punti sul piano, ad una distanza infinita dall’origine, nel cui intorno la funzione presentava proprietà analoghe a quelle negli intorni di punti al finito. L’indagine sulla struttura degli intervalli di convergenza delle serie trigonometriche portava a considerare sistemi di punti cui venisse applicata un numero infinito di volte l’operazione di derivazione. Ciò era sufficiente per concludere che accanto all’infinito potenziale di Aristotele e San Tommaso era concepibile e legittimo un infinito attuale .

Le antinomie

Dopo Cantor ci fu chi si preoccupò di ricapitolare le prove e le giustificazioni dell’uso matematico dell’infinito attuale. La nota più insistente era l’appello all’indipendenza della notazione di numeri dal supporto intuitivo ed empirico dell’ordinario processo del contare; la fondazione del numero su di un  piano puramente logico; l’indipendenza di ogni definizione matematica da qualsiasi esigenza di riscontro nel mondo dell’apparenza sensibile. L’idea era che il sistema della matematica dovesse trovare il suo più vero compimento nell’ambito di un’elaborazione autonoma di concetti pensati a priori: ogni giustificazione era da ricercarsi nell’interna necessità di leggi operanti in una costruzione puramente matematica. La natura dei principi che governarono la matematica cantoriana e post-cantoriana, avvallando l’estensione del numero al transfinito, non si discostò troppo dalle ragioni invocate ad esempio da Gauss, prima di Cantor, per un ampliamento del numero che comprendesse l’immaginario; ragioni governate dalla tacita premessa che l’eventuale acquisizione di nuovi concetti fosse brevemente giustificabile con lo stesso giro di frase pronunciato all’indirizzo del giovane Tòrless dal suo insegnante di matematica, proprio intorno al senso dei numeri immaginari: << Lei deve accettare il fatto che tali concetti matematici non sono né più né meno che concetti alla natura del pensiero puramente matematico >>. Cantor aveva ricordato che l’uso dell’infinito nella geometria era tale da consentire ormai l’introduzione dell’infinito <<proprio>>, cioè dell’infinito attuale, accanto a quello sincategorematico di san Tommaso. L. Couturat insistette sull’intima analogia tra infinito geometrico e i numeri immaginari. Il principio di continuità di Poncelet, che era un’estensione dell’analogo principio di Liebniz, sottostava a tale genere di deduzione. Ma volendo centrare uno dei motivi portanti dell’estensione aritmetica al transfinito si dovrebbe insistere sulla trasformazione dell’idea di numero, trasformazione non priva in ogni caso di richiami all’antico. Couturat commentò il lavoro di Cantor ricordando che uno dei suoi meriti era consistito nell’aver esaltato il carattere unitario e <<organico>> del numero intero: l’unità, e non solo l’elemento costitutivo del numero e della sua molteplicità, bensì anche il nodo conclusivo che ne sancisce l’aspetto di totalità. Il numero è essenzialmente cardinalità, cioè classe di classi in corrispondenza biunivoca tra loro, e tale astrazione non ha bisogno, per sussistere, di una speciale enumerazione; l’enumerazione non è che <<conoscenza esplicita di un numero già pensato e implicitamente già pensato>>; il numero non è il risultato del contare, ma ne è la condizione. La conseguenza è che per formare l’idea di numero non è indispensabile conoscere la molteplicità come divenire temporale e l’Aritmetica, non può essere, come voleva Kant, una scienza del tempo. Couturat proseguì le tesi di Cantor facendo del numero un’entità formale completamente definita a priori, vuota di ogni contenuto materiale e concreto. Analoghi tentativi sorpassarono la soglia del secolo per approdare alle prime dimostrazioni  del teorema del buon ordinamento proposte da Zermelo nel 1904 e nel 1908. Zermelo riuscì a dimostrare che in ogni insieme M, e in particolare in ogni insieme infinito, è definibile ciò che si chiama buon ordinamento, cioè una relazione d’ordine, che si potrebbe immaginare per semplicità analoga al <<maggiore>> e al <<minore>> dei numeri, caratterizzata dalla seguente proprietà: ciascuno dei sottoinsiemi non vuoti dell’insieme dato M ha un elemento più piccolo di tutti gli altri, ed in particolare per ogni coppia di elementi di M, a e b, si può dire qual è il <<maggiore>> e qual è il <<minore>> dei due. Più esattamente, egli seppe dimostrare che un insieme M può essere bene ordinato tutte le volte che si ammette l’esistenza attuale di una funzione che ad ogni sottoinsieme M’ di M associa un particolare elemento m’ di  M’.  Questa  funzione di scelta, se pensata esistente, trasformava la potenzialità inesauribile dell’operazione di ordinamento in una realtà statica e totale. Il metodo intuitivo di ordinamento doveva consistere in una sorta di conteggio degli elementi da ordinare, in successione temporale, sulla base di una estensione dell’ordinario procedimento del contare al transfinito. L’ipotesi di esistenza della funzione di scelta di Zermelo era tale da rompere i vincoli della successione temporale delle scelte, rendendo simultaneo ciò che il tempo costringeva ad essere successivo. I risultati di Zermelo consentivano di estendere l’applicabilità del principio di induzione, ed in particolare dell’induzione transfinita, a un numero di casi ben maggiori del previsto.

Le classi di insiemi infiniti equivalenti che Cantor prudentemente chiamava <<potenze>>, per evitare una troppo precipitosa applicazione dell’idea di numero a tali astrazioni, potevano assurgere più ragionevolmente  a <<numeri>> qualora fosse stata provata nel modo più generale la loro confrontabilità, al pari dei numeri ordinari finiti. Tale confrontabilità era assicurata dal teorema di buon ordinamento di Zermelo. Le invenzioni matematiche di Cantor non rimasero comunque  immuni dalle critiche. Kronecker capeggiò fino alla morte l’opposizione ad ogni tentativo di fondazione dell’infinito attuale, giudicando le innovazioni di Cantor sataniche. Egli seguì di fatto la via opposta che condusse alle principali innovazioni sull’infinito. Kronecker aspirava alla costituzione di una scienza aritmetica estensibile fino all’inclusione dell’algebra e dell’analisi, ma separata nettamente dalla geometria e dalla meccanica. In tal caso egli auspicava una <<aritmetizzazione>> fondata sul numero inteso nel senso più ristretto possibile, con la conseguenza che gli stessi numeri negativi, frazionari ed algebrici dovevano rapportarsi a particolari espressioni definibili con gli interi e con le funzioni di indeterminate introdotte da Gauss. L’ ’esistenza’ dei numeri algebrici doveva prospettarsi come il mero riconoscimento di intervalli in cui il poligono cambiasse di segno e quindi, sempre evitando mediante indeterminate e congruenze i numeri frazionari, ci si poteva anche in tal caso ricondurre ai soli numeri interi. Anche l’ausilio della logica, era per Kronecker, da considerarsi estranea alla pura matematica: l’evidenza logica di un ragionamento non garantisce la legittimità di una sua utilizzazione; non è sufficiente, per dimostrare un teorema, provare che la negazione del suo enunciato implichi una contraddizione, e generale è solo un effettivo procedimento fondato su un numero finito di operazioni aritmetiche a condurre a un risultato sicuro. Quanto basta per scongiurare il pericolo delle antinomie, e per delineare uno stile di indagine che sarebbe stato poi quello degli intuizionisti. Chi negò dopo Cantor l’esistenza dell’infinito attuale proposta dal nuovo linguaggio insiemistico si trovò per lo più a dover confutare anche ciò che Cantor aveva ispirato : le tesi logistiche di Russell e Whitehead.  Infatti dalle tesi di Russell si sarebbe dovuto dedurre un certo carattere di rigore incontrovertibile di alcuni risultati di Cantor. Al di fuori della matematica è stato da sempre più facile guardarsi dalla tentazione di scorgere in una qualsiasi formula linguistica la riproduzione verbale di una verità. Una qualsiasi asserzione ha un valore relativo, aveva scritto N. Cusano, ed è suscettibile di venire confutata. Basti pensare alla dialettica di Zenone o a quella platonica, ove due ingredienti essenziali, contraddizione e l’analogia, sono usati per uscire <<dal punto di vista>>, dalla conferma di alcunché intenda rigidamente proporsi come giudizio singolo e separato.  Una singolare suggestione fa spesso ritenere che la matematica possa ritenersi uno strumento particolarmente privilegiato per l’indagine di alcuni concetti, fino al punto di offrire definizioni << assolute >> e soluzioni definitive. La fedeltà di quest’atto di fede, non è sempre apparsa, però, immune da sospetti. Wittgenstein parlò dell’infinito di Cantor in termini tali da non incoraggiare coloro che ritenessero ormai l’infinito attuale come un fatto scontato. Wittgenstein scrisse che i risultati scientifici accreditano facilmente asserzioni che vedono il risultato scientifico come inconfutabile realtà, ma ciò non è giusto, poiché essi hanno come unico effetto quello di persuadere a trascurare alcune differenze tra gli oggetti di cui si vuole stabilire l’identità. La scoperta delle antinomie fu un motivo scatenante di dubbi e ripensamenti anche nell’ambito matematico e che si sviluppo un po’ ovunque, in ogni campo. Altre testimonianze sull’ambiguità di ogni appello alla ragione scientifica come espediente retorico del convincimento vennero da persone estranee all’esercizio matematico.  T.W. Adorno avvertì l’intrinseca incongruenza di una qualsiasi asserzione filosofica che implicasse in qualche modo il gesto della persuasione, con un’intenzione non troppo distante da quella che anticamente caratterizzò la dialettica, Adorno suggerì che compito di quest’ultima altro non fosse che quello di eliminare dal discorso la << fissazione maniacale>> di chiunque volesse far atto di persuasione  del suo univoco e particolare punto di vista. A sostegno di chi confutava la posizione logistica e la fondazione dell’infinito attuale mediante il linguaggio insiemistico ricomparvero le antiche tesi platoniche sui rapporti tra <<intellezione>>  delle verità scientifiche e linguaggio elaborato per descriverle.  Matematici come Poincarè e Weyl ristabilirono quei contatti con quella filosofia che neanche Russell si sentì di liquidare. In loro ricomparve, oltre il puro scheletro del metodo scientifico, una sorta di coscienza filosofica, di capacità contemplativa e di densità di intuizione quali si è usi ascrivere, di solito, al pensiero tradizionale. Prima del perfezionamento delle tesi intuizioniste comparvero sulla scena matematici come Lebesgue, Baire, Borel, che già formularono, sin dal 1905, obiezioni all’idea di infinito attuale, al transfinito e all’uso dell’assioma di Zermelo.

Alle questioni di principio sull’attendibilità dei nuovi concetti, si aggiunsero necessità di correlazione di alcune lacune nell’apparato logico deduttivo dei Principia, come ad esempio la definibilità dei limiti superiori e di quelli inferiori negli insiemi di numeri reali. Hilbert si propose di salvare dalle antinomie l’integrità della matematica ricorrendo al metodo assiomatico  e al calcolo logico, ma rimase egli stesso convinto che l’uso della deduzione logica dovesse ammettere un’ulteriore condizione extralogica, intuibile come esperienza immediata ed anteriore ad ogni attività del pensiero. Ciò lo riavvicinò a Kant inducendolo a pensare che i programmi di Russell non avrebbero raggiunto il loro scopo. In accordo con Brouwer egli pure ammise che i poteri del pensiero intuitivo non giungono al transfinito  e che perciò i teoremi matematici implicanti questa teoria  risultano ingiustificabili come eventuali verità dotate di concreta esistenza. Il suo programma prevedeva una comprensione dell’uso del transfinito da un punto di vista ‘finitista’, ovvero da un punto di vista più ristretto. Il tentativo di cogliere l’infinito nella sua totalità definendolo una completezza che nulla lasciasse fuori di sé era destinato a dimostrarsi illusorio. Nel 1931 Gòdel dimostrò che la matematica non cessava di mostrare delle aperture, delle allusioni ad altro da ciò che essa sarebbe in ogni caso riuscita ad esprimere in un sistema formale. La matematica simbolica non era in grado di  esprimere, come avrebbe auspicato il formalismo, un mondo chiuso ed esauriente di segni, un sistema formale completo. Per qualsiasi sistema formale della matematica Gòdel indicò due inevitabili conseguenze :

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1. esistono proposizioni relativamente elementari e intuitivamente vere che non possono essere dedotte nel formalismo del sistema;

2. l’asserzione che esprime la coerenza del sistema non è essa stessa deducibile nel suo formalismo,

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nel senso che un tentativo di deduzione porterebbe all’assurdità di una relazione come 1<>1.

L’instabile incompletezza che ciò determinava rivelava come il fatto più semplice e chiaro per l’attitudine creativa della mente fosse viziato da intrinseche oscurità e deficienze qualora fosse completato dall’angolo visuale del metodo assiomatico di Hilbert. La successiva dimostrazione di G. Gentzen della coerenza dell’aritmetica risultava non conforme al programma hilberiano e implicava una fatale penetrazione nel transfinito. Ma l’aspetto più interessante della questione riguardava l’idea ispiratrice delle tecniche dimostrative di Gòdel. La sua dimostrazione poteva ben considerarsi un geniale contributo all’arte del paradosso, rilevando il valore incomparabile dell’impossibilità, dell’ostacolo, come veicolo per la comprensione dell’assenza, in questo mondo, dell’infinito come totalità. L’intuizione greca sul significato di questa assenza, sull’assurdità di un’esplicita relazione dell’infinito nei ranghi dell’ordinaria apparenza, sia per quella legata ad una rappresentazione matematica, trovò infine nell’esito di alcuni teoremi un’evidente conferma. Altri risultati come il paradosso di Skolem, la conseguente relativazione del concetto di classe e il riconoscimento dell’insanabile imprecisione dello strumento assiomatico: la rifondazione della semantica con la proposta di una distinzione tra linguaggio-oggetto e linguaggi-metafisico nei ranghi di un’indefinita gerarchia, erano altrettanto conferme della nuova visuale introdotta da Gòdel. H. Weyl scrisse che l’infinito è accessibile intuitivamente come campo di possibilità indefinitamente aperto; ed in ciò appare uguale alla successione dei numeri che è prolungabile illimitatamente. La completezza, il così detto infinito attuale, è tuttavia al di fuori della nostra portata. Ciò nonostante l’esigenza della totalità spinge la mente a rappresentarsi l’infinito come entità chiusa per tramite di costituzioni simboliche. L’interesse filosofico della matematica e della fisica doveva  consistere, per Weyl, nel raggiungimento di una intrinseca solidità di queste costruzioni simboliche e il lavoro di Weierstrass, Cantor, Frege, Russell e Hilbert era anche servito a questo.

L’infinito aperto 

Pur nella sua dichiarata antipatia per la dialettica hegeliana Popper pose come criterio di definizione essenziale di una teoria scientifica un concetto negativo come quello di falsificabilità. Una teoria si definisce scientifica se è confutabile; ed è allora evidente che nell’attimo di una sua eventuale confutazione si toccherebbe, come egli stesso si esprime, << la realtà>>, e si raggiungerebbe quindi il terzo, e più completo, degli stadi di penetrazione della teoria ( il primo è lo stadio in cui si afferma il senso generale, il secondo è lo stadio in cui si è in grado di ripeterlo e trasmetterlo, il terzo è quello in cui la teoria potrebbe essere confutata). Pur con intenti affatto dissimili Hegel aveva posto come elemento essenziale del finito, esemplificabile in tal caso in una qualsiasi teoria scientifica coerente, il momento della sua negatività, del suo non essere: <<quando delle cose diciamo che son finite, con ciò si intende che la loro natura, il loro essere è costituito dal non essere >>; ed è proprio questo non essere, a rivelare la presenza dell’infinito nel mondo. <<Se .....si prende la realtà nella sua determinatezza, >> scrive Hegel <<allora, poiché essa contiene essenzialmente il momento del negativo, la somma di tutte le realtà diventa una somma di tutte le reazioni, la somma cioè di tutte le contraddizioni, e anzitutto, in certa guisa, la potenza assoluta, nella quale ogni determinato è assorbito. Ma, siccome questa stessa potenza non è se non in quanto ha ancora di contro a sé qualcosa che essa non ha tolto, così quando si pensi come allargata in una potenza compiuta, illimitata, essa diventa l’astratto nulla. Quel reale in ogni reale, l’essere in  ogni esistere, in cui si dovrebbe aver l’espressione del concetto di Dio, non è altro che l’astratto essere, quello stesso che è nullo>>. Questo tentativo, che è di Hegel , di cogliere la negatività di cui si riveste l’infinito nel suo contatto col mondo, lo si può riscoprire negli interstizi di  molte fra quelle teorie della conoscenza a cui  la dialettica hegeliana poteva sembrare uno schema inutilmente costruttivo. Se si considera ad esempio l’opera di  Lakatos non mancano esempi capaci di far apprezzare una delle più profonde intenzioni hegeliane, quella cioè di unificare, nei fatti e nelle cose del mondo, le due facce apparentemente più inconciliabili dell’infinito: la pura affermazione e la pura negazione. L’intento di Lakatos è di togliere dalla dimostrazione matematica la sua apparente unidirezionalità. Si potrebbe anche aggiungere, che si tratta in tal caso di un affrancamento del procedimento  dimostrativo del desiderio, cioè della pretesa illusoria di trovare  ciò che si cerca. A chi ha fretta di arrivare a una conclusione si risponde: <<a voi interessano soltanto le dimostrazioni che ‘ dimostrino’ ciò che per mezzo di esse intendete dimostrare. A me interessano le dimostrazioni anche se esse non ottengono lo scopo per cui erano intese. Colombo non raggiunse l’India, ma scoprì qualcosa di piuttosto interessante>>. Ciò che accompagna il ricercatore, in questa fase, è allora una sorta di parvenza del vuoto, che si potrebbe anche definire, in tono consolatorio come il rigetto d’ogni  idolatria scientifica. Naturalmente il vuoto può popolarsi di eccezioni contro esempi , deformazioni concettuali ecc. e dare luogo alla convinzione che << se vogliamo imparare qualcosa di veramente profondo, dobbiamo studiarlo non nella sua forma ‘normale’, regolare, consueta, ma nel suo stato critico, in un momento di febbre di passione>>; da cui l’estremo e ambiguo consiglio: <<  se volete conoscere il corpo normale, in salute, studiatelo quando è anormale, quando è malato>>. Questo percorso dell’irregolarità, in una accettazione incondizionata ma vigilante dell’apertura incolmabile suscitata dall’insorgere di un problema, è precisamente quel momento negativo che neppure i limiti di una definizione o di una dimostrazione matematica sono in grado di illuminare. Lakatos toglie del resto alla dimostrazione il suo apparente carattere di infinità, quand’essa intenda configurarsi quale prova d’una ‘verità’ conclusiva. Questo può anche significare che un certo periodo del ‘ 900 il recupero dell’infinità come pura potenza fu agevolato dalla crescita di una critica radicale dell’atto di persuasione, coinvolgente lo stesso carattere apodittico della dimostrazione matematica. Il ‘ gesto’ che Adorno ( oltre che Wittgenstein) seppe mascherare con argomenti decisivi  riguadagnò l’antica ambivalenza  nel duplice significato di <<convincere >> e <<ingannare>> o <<deludere>>. In senso lato si poteva anche dare ragione a Husserl , il quale lasciava intendere come una matematica ideale manovrata da un metodo onnicomprensivo avesse l’irresistibile tendenza, a partire da Galileo e Cartesio, a tramutarsi in tecnica reificante, procedimento descrittivo affatto separato dal mondo della soggettività, e sfociante quindi nella alienazione e nel fallimento. Se è vero, come scrive N. Wiener , che il pensiero di ogni epoca si riflette nella sua tecnica , si potrebbe anche scorgere che in taluni aspetti del pensiero di Heidegger  una stretta relazione della crisi dei fondamenti della matematica.

La scoperta della antinomie svolge un ruolo implicatamente rilevante ed egli scrive che <<il livello di una scienza si misura nell’ampiezza entro cui è capace di ospitare la crisi dei suoi concetti fondamentali>>.  Non solo, ma ciò, mette a nudo quell’ambito di idee che stanno a fondamento della scienza come ricerca positiva; e così, ogni ulteriore indagine è automaticamente costretta a porsi il problema dell’essere delle cose; proprio quell’essere, che Bolzano aveva voluto escludere dal linguaggio scientifico. L’estrema conseguenza di questa volontà di dominio doveva essere l’affacciarsi dell’incolmabile, e quindi, nella matematica, dell’antinomia. L’incalcolabile diventava allora un offuscamento degli idoli che si distendono su tutte le cose da quando l’uomo è divenuto soggetto e il mondo immagine. Tuttavia l’idolatria, come notava S. Weil è una necessità vitale poiché anche tra i migliori, è inevitabile che essa limiti strettamente l’intelligenza e la bontà. E’ facile che non si resista a lungo all’orrore del vuoto: il vuoto è la pienezza suprema ma l’uomo non ha il diritto di saperlo. Heidegger colse evidentemente il rischio di una sospensione nel vuoto quando osservò che, per la scoperta dell’incalcolabile, il mondo moderno si dispone in una regione che sfugge alla rappresentazione. L’uomo avrebbe dovuto conoscere la verità e custodirla con la riflessione pura, mantenendosi in un territorio ambiguo sospeso sull’abisso che separa l’ente da l’essere. L’uomo appartiene all’essere, ma resta tuttavia straniero nell’ente. Heidegger  scriveva che malgrado tutto il suo valore, la  comprensione dell’essere risulta oscura, confusa, coperta, nascosta e proprio per questo essa deve venire chiarita, districata, sottratta al suo nascondimento. Il <<nuovo domandare>>che automaticamente scaturiva dalla riconosciuta problematicità dell’ente generava uno spazio aperto, ma si intendeva che esso stesso dovesse istituire un nuovo spazio che tutto include e attraversa. La forza di seduzione della contingenza storica avrebbe potuto incautamente tradurre questa nuova possibilità in evento preciso, ancora una volta ( paradossalmente ) calcolabile. Heidegger  lascia intendere che l’essere si ritrae proprio nell’attimo in cui si dis-copre nell’essente. Questo ritrarsi produce un errore fatale, che appartiene all’essenza della verità; sicché il divenire nella storia è per sua essenza il regno del travisamento. Il volto della verità non può allora che essere la morte, l’annientamento. L’infinito invoca la morte poiché non tollera la finzione di sé stesso. L’uomo in cerca dell’infinitezza, come scrive Zaccaria, incontra solo finzioni, e il contenuto di gratificante realtà che pur si continua a prendere abbiano i fatti, irresistibilmente tramutati in idoli dall’istinto comune o dal dogma sensista, opera infine l’inganno di una fede male orientata, e in definitiva un vero e proprio travisamento. Questo travisamento proviene allora da una semplice circostanza: la realtà del mondo continua a presentarsi, agli occhi di chi vuole trascenderla con le credenziali di un invincibile e allettante concretezza. Il sentiero della verità è dunque, come annotava Broch, infinitamente stretto. Esso separa due mondi ed espone chi lo percorre a rischio mortale di una caduta irreversibile. Su questo sentiero, per Broch, finiscono anche per incontrarsi i principi ultimi dell’arte poetica e del pensiero scientifico, specie dopo il crollo delle posizioni apodittiche del positivismo ottocentesco operato dalle scoperte delle antinomie. Secondo lui l’intuizione dell’infinità nella scienza e nella matematica avviene per via della preventiva conoscenza dell’infinito poiché senza la preventiva conoscenza di un’incognita nessun problema potrebbe venir posto. Questa precognizione ha sede, per Broch, in una sorta di inconscio gnoseologico cui si deve ogni esplicazione della sfera razionale. Da esso nasce l’intuito. Sempre per lui la matematica aveva il vantaggio di essere in grado di edificare una propria sfera empirica di nozioni e concetti, secondo una logica vicina a quella delle intuizioni, mediante costruzioni effettive immuni da contraddizioni. Esse divengono così un  apparato di unità ideali cui l’intera esperienza soggettiva può riferirsi. Resta tuttavia un ‘residuo di qualità’ di cui l’infinito impedisce una qualsiasi rappresentazione linguistica, questa è anche l’anima del simbolico. E’ in definitiva l’infinito a fare del simbolo un meccanismo non significativamente univoco, bensì semplicemente allusivo e polivalente, e perciò liberatorio. Waismann  applicò il principio della polisemia linguistica ai più celebri enigmi sull’infinito e vide l’effetto di un incontrollata polivalenza del segno. Egli notò che il linguaggio matematico offriva i più perfetti modelli di questa ambiguità. E’ allora evidente come il problema matematico dell’infinito si trovi automaticamente proiettato nella sfera morale. Questa proiezione è implicitamente suggerita da Broch e si trova prefigurata nell’opera di Musil. Con Neumann e Gòdel si considerò legittimo l’uso di notazioni matematiche non perfettamente filtrate da una critica rigorosa. Gòdell osservò come i paradossi della teoria degli insiemi non giustificavano un atteggiamento negativo nei riguardi di tale teoria.

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Non a caso i risultati sulla decibilità della teoria additiva dei numeri soffrono dell’inconveniente che, ogni algoritmo costituito per dedurre i teoremi di quella teoria si imbatte in proposizioni dimostrabili solo in un numero sproporzionato di passaggi; si tratta cioè di un caso di intrattabilità. Questo, tramuto in positivo l’indagine matematica. Usando la complessità come misura dell’informazione racchiusa in un sistema di assiomi, si verrebbe a disporre di un insieme APERTO di ipotesi di fronte alle quali il matematico si troverebbe a lavorare all’incirca come un fisico. La nozione di complessità verrebbe quindi a collocarsi quasi al culmine dell’edificio matematico, non solo definendone e misurandone i principi, ma anche ponendosi a giudice delle scelte delle ipotesi dei percorsi dimostrativi e illustrativi dei risultati.  Se si volesse azzardare un tentativo di accostamento di una scelta scientifica con una etica o metafisica si potrebbe adattare un’osservazione di Pjatigorskij sul pensiero buddhista: << Il massimo problema metafisico sulla filosofia buddhista è quello della complessità di tutto, o per essere più precisi, è che ogni fenomeno è complesso nel senso che qualsiasi cosa  può sussistere come fenomeno soltanto in quanto complessa>>. Rosnay, alle qualità dell’approccio sistematico alla comprensione delle strutture infinitamente compresse non esita ad associare a tali quantità la proposta di un’etica non priva di quei richiami alle sfere della sapienza che la scienza ufficiale preferisce ignorare. Tutto ciò ha le sue radici nella matematica e nel suo essersi anticipatamente conformata a quel modello di scienza dell’automa che svolge un ruolo insostituibile nel libro di Rosnay. La comprensione delle leggi del funzionamento di un sistema infinitamente complesso si svolge secondo criteri di percezione globale delle intenzioni delle varie componenti che assomigliano a quelli già delineati da Neumann nella sua prima descrizione degli automi, e della loro somiglianza agli organi viventi. Non si può non meditare sulle parole cui J. Von Neumann alluse all’insuperabile flessibilità della matematica. E senza le oscurabilità, i dubbi e le incertezze, mescolate all’esattezza, difficilmente si poterebbe concludere ciò: << Sento che uno dei più importanti contributi della matematica al nostro pensiero sta nel fatto che essa ha dimostrato un’enorme flessibilità nella formazione di concetti, un grado di flessibilità al quale è molto difficile arrivare con un metodo non matematico>>.